＞そもそもこれは著作権じゃなくて著作人格権の話ではないのかという気がしますが、どうなのでしょう。

著作者人格権では、著作者の意に沿わない選挙運動での音楽著作物の利用を止めることは難しいでしょう。
一般的な選挙運動で音楽著作物をBGMに使うなどしても著作者人格権の公表権・氏名表示権・同一性保持権を侵害するケースは考えにくいです。
可能性があるとすれば著作権法113条6項(名誉声望保持権)ですが、これを適用するのも厳しそうです。

著作権法113条6項
著作者の名誉又は声望を害する方法によりその著作物を利用する行為は、その著作者人格権を侵害する行為とみなす。

なぜなら、栗原弁理士の解説によれば『「名誉声望を害する」というのは客観的にそうであることが必要とされており、著作権者自身が「名誉を害されたと感じる」程度では足りません』 [techvisor.jp]とのことなので、選挙運動のBGMに利用する行為は例え著作者の意に反していても名誉声望を害する行為とは認められないでしょうから。

結局のところ、「あまちゃん」の音楽の作曲者である大友氏は著作者人格権に基づいて音楽の使用の差し止めを要求したわけではなく、単に音楽を使用しないよう「お願い」しただけです。
著作者から使用しないようにお願いされれば、有権者の反応も考慮して多くの選挙候補者はその音楽を使用しないでしょうが、トランプ氏のように著作者の意向に従わない候補者もいるかもしれません。
その場合、著作者人格権上は問題ありませんが、著作財産権(著作権)については一部例外を除いて許諾が必要となります。

JASRAC管理楽曲の場合は著作財産権を管理して利用者に許諾を出すのはJASRACになるわけですが、利用目的が選挙運動の場合は、著作権信託契約の受益者(信託者)である著作権者の作家や音楽出版者の利益を保護するため、利用希望者からJASRACに問い合わせがあったらJASRACから著作権者に利用の可否を確認するようになっています。⇒「選挙運動における音楽利用のご注意・ご案内」 [jasrac.or.jp]
著作権者＝著作者であれば、この段階で著作者は選挙運動への利用拒否が可能です。
著作権が著作者から音楽出版者に譲渡されている場合は、著作者に意向の確認がされるかどうかはその音楽出版者次第です。

選挙運動の一環としてネットで配信する動画のBGMにJASRAC管理楽曲を使う場合は上述のようにJASRACから許諾を得る必要がありますが、街頭演説や選挙カーで市販CDをBGMとして流すだけなら著作権法38条により許諾は不要ではないかという意見があります。

著作権法38条(営利を目的としない上演等)
公表された著作物は、営利を目的とせず、かつ、聴衆又は観衆から料金を受けない場合には、公に上演し、演奏し、上映し、又は口述することができる。ただし、当該上演、演奏、上映又は口述について実演家又は口述を行う者に対し報酬が支払われる場合は、この限りでない。

選挙運動が38条の営利にあたるか否かを裁判所が判断した判例がないようなので、断言はできませんが。

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